Первый игрок «Ливерпуля», который получил международное признание. Брэдшоу был центральным нападающим клуба, в его втором сезоне в Футбольной лиге (сезон 1893/1894). На счету игрока было 6 мячей в 14 матчах того сезона, в котором «красные» стали победителями первенства Второго дивизиона. В следующем сезоне, который закончился вылетом «Ливерпуля» обратно во Второй дивизион, Брэдшоу был единственным игроком «красных», который хотя бы выделялся на общем фоне. Ему удалось забить 18 голов.
В сезоне 1895/1896 «Ливерпуль» вновь победил во Втором дивизионе, однако результативность Брэдшоу заметно упала (12 мячей). Однако, если учесть, что он играл на фланге, такая результативность не будет казаться недостаточной. Его умение играть как на обоих флангах, так и в центре была очень полезна клубу.
Свой последний матч в футболе Брэдшоу провел в декабре 1899 года, когда вышел на поле в составе клуба «Тэмз Айронворкс» (будущий «Вест Хэм Юнайтед»). Спустя пару недель, Брэдшоу скончался от туберкулеза, в возрасте двадцати шести лет.
